Hubungan
antara anggota himpunan dapat merupakan suatu relasi, misalnya a€A dan b€B,
bila a relasi dengan b kita dapat tulis (a,b). Secara formal relasi dari dua
himpunan yaitu himpunan pasangan terurut dari anggota-anggota kedua himpunan.
Bila relasi dari himpunan A ke himpunan B, maka himpunan A disebut daerah asal
(domain) dan himpunan B disebut daerah kawan (kodomain).
Penyajian
Relasi:
Penyajian Matriks Relasi dan
Diagram Panah
Misalkan A = {2,3,4} dan B
= {2,4,8,9,15}.
Jika kita definisikan relasi R dari
A ke B dengan aturan : (a,
b) ∈
R jika a faktor prima dari b maka relasi tersebut dapat
digambarkan dengan diagram panah berikut ini :
Penyajian relasi dengan diagram
cartesius
Diagram cartesius menggunakan pasangan koordinat
horisontal-vertikal. Setiap titik mewakili ada tidaknya hubungan A dan B,
contoh :
Penyajian Relasi dengan Tabel
Kolom pertama menyatakan asal, sedangkan kolom kedua
menyatakan hasil. Contohnya:
Penyajian Relasi dengan Matriks
Relasi antara A = {a1, a2, …, am}
dan B = {b1, b2, …, bn}.
Contohnya:
Relasi
Invers
R
relasi dari suatu himpunan A ke himpunan B. Invers dari R ditulis R-1.
Jika urutan anggotanya dibalik maka R-1
= {(b, a) | (a, b) ∊
R).
Contohnya:
-
A= {(1,a), (2,b)}, maka A-1 =
{(a,1), (b,2)}
-
R = {(2, 2), (2, 4), (4, 4), (2, 8), (4, 8),
(3, 9), (3, 15)}, maka R–1 = {(2, 2), (4, 2), (4, 4), (8, 2), (8, 4),
(9, 3), (15, 3) }
Komposisi
Relasi
Misalnya
R adalah relasi dari himpunan A ke B, dan S adalah relasi dari himpunan B ke C.
Komposisi R dan S, dinotasikan S ο R. sedangkan relasi dari A ke C yang
didefinisikan:
S
ο R = {(a,c) | a ∊
A, c ∊
C, dan untuk beberapa b ∊
B, (a,b) ∊
R dan (b,c) ∊ S.
Contohnya: R = {(1,2),(1,6),(2,4),(3,4),(3,6),(3,8)} adalah
relasi dari A = {1,2,3} ke B = {2,4,6,8} dan S = {(2,u),(4,s),(4,t),(6,t),(8,u)}
adalah relasi dari B = {2,4,6,8} ke C = {s,t,u}. Maka komposisi relasi R dan S
adalah S ο R = {(1,u),(1,t),(2,s),(2,t),(3,s),(3,t),(3,u)}.
Sifat Relasi
1. Refleksif (reflexive)
Jika
(a, a) Î R
untuk setiap a Î
A.
Contohnya:
A
= {1, 2, 3, 4}, dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A,
maka Relasi R = {(1, 1), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 2), (4, 3),
(4, 4)} bersifat refleksif karena terdapat elemen relasi yang berbentuk (a,
a), yaitu (1, 1), (2, 2), (3, 3), dan (4, 4).
2. Transitif (menghantar)
Jika (a,b) Î R dan (b,c) Î R, maka (a,c) Î R untuk a,b,c Î A.
Contohnya :
-
relasi
< pada Z bersifat transitif, sebab a,b,c Î Z berlaku jika a < b dan b < c
maka a < c.
-
Relasi
"habis dibagi" pada himpunan bilangan bulat positif menghantar.
3. Simetris
Jika a Î
A dan b Î A berlaku a R b ≡ b R a, relasi R pada himpunan A
disebut simetri jika semua a,b Î A jika (a,b) Î R, maka (b,a) ÎR.
Contohnya:
-
R
= pada D bersifat simetri, karena a, b ϵ D, berlaku a=b ≡ b=a
-
Relasi
≤ pada Z tidak simetri, karena 1 ≤ 2 ≠ 2≤1
4. Antisimetri
Jika semua a,b Î
A, (a,b) Î R dan (b,a) Î R hanya a=b.
Contohnya:
R < pada Z bersifat antisimetri,
karena b,c Î z berlaku b<c ^ c < b → b=c.
Partisi
Menurut
bahasa Yunani 'partition' yang artinya 'bagian'. Partisi adalah bagian tertSentu,
dengan tujuan untuk memisahkan antara yang penting dengan yang biasa saja sehingga
lebih mempermudah dalam proses mencari.
Contohnya:
S
= himpunan tidak hampa. Partisi dari S = membagi-bagi S menjadi himpunan bagian
tidak hampa A1, A2, ... Masing-masing saling lepas dan gabungan keseluruhannya
adalah S.
Sumber:
