Logika

Konsep dan Notasi Dasar

Berupa kalimat deklaratif yang bernilai benar (T atau true) atau salah (F atau false), tetapi tidak keduanya.

Contohnya:

1.      10 adalah bilangan genap.

2.      10 x 2 = 20.

3.      Hari ini adalah hari Rabu.

4.      x + y = y + x untuk setiap x dan y bilangan riil. 

Misalnya p dan q adalah proposisi.

p	q	p ∧ q
T	T	T
T	F	F
F	T	F
F	F	F

        Konjungsi (conjunction): p dan q. Notasinya: p ∧ q. Contohnya:

p : Hari ini hujan

q : Murid-murid diliburkan dari sekolah

p∧q: Hari ini hujan dan murid-murid diliburkan dari sekolah

p	q	p ∨ q
T	T	T
T	F	T
F	T	T
F	F	F

        Disjungsi (disjunction): p atau q. Notasinya: p ∨ q

Contonya:

p : Ibu memasak ikan.

q : Ibu pergi ke pasar.

p∨q: Ibu memasak ikan atau pergi ke pasar.

p	~q
T	F
F	T

        Ingkaran (negation): ~p atau tidak p. Notasi: ~p.

p : Adik pergi ke pantai.

~p: Adik tidak pergi ke pantai

Contoh gabungan:

p : Pemuda itu pintar

q : Pemuda itu tampan

Maka:                

a.       p ∧ q             :  Pemuda itu pintar dan tampan

b.      p ∧ ~q           :  Pemuda itu pintar tapi tidak tampan

c.       ~p ∧ ~q         :  Pemuda itu tidak pintar maupun tampan

d.      ~(~p∨~q)      :  Tidak benar bahwa pemuda itu bodoh atau tidak tampan

e.       p ∨ ( ~p ∧ q )   :     Pemuda itu pintar atau bodoh, dan tampan

f.       ~( ~p ∧ ~q ) :  Tidak benar bahwa pemuda itu bodoh maupun tampan

Ekivalen Logika

Dua proposisi majemuk, jika nilai kebenaran dari kedua pernyataan tersebut sama. Lambang untuk ekuivalen adalah “ ≡ ”. Contohnya perhatikan tabel kebenaran dari proposisi (p ⇔ q) dan (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p):

p	⇔	q
T	T	T
T	F	F
F	F	T
F	T	F

p	⇒	q	∧	q	⇒	p
T	T	T	T	T	T	T
T	F	F	F	F	T	T
F	T	T	F	T	F	F
F	T	F	T	F	T	F

Karena nilai kebenaran dari kedua proposisi diatas sama, maka

(p ⇔ q) ≡ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p).

Aljabar Proposisi

1.      Hukum identitas: -       p ∨ F ⇔ p -       p ∧ T ⇔ p	6.    Hukum penyerapan (absorpsi): -       p ∨ (p ∧ q) ⇔ p -       p ∧ (p Ú q) ⇔ p
2.      Hukum null atau dominasi: -       p ∧ F ⇔ F -       p ∨ T ⇔ T	7.    Hukum komutatif: -       p ∨ q ⇔  q ∨ p -       p ∧ q ⇔ q ∧ p
3.      Hukum negasi: -       p ∨ ~p ⇔ T -       p ∧ ~p ⇔ F	8.    Hukum asosiatif: -       p ∨ (q ∨ r) ⇔ (p ∨ q) ∨ r -       p ∧ (q ∧ r) ⇔ (p ∧ q) ∧ r
4.      Hukum idempotent: -       p ∨ p ⇔ p -       p ∧ p ⇔ p	9.    Hukum distributif: -       p ∨ (q ∧ r) ⇔  (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) -       p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
5.     Hukum Involusi (negasi ganda): - ~(~p) ⇔ p	10.  Hukum De Morgan:        -       ~(p ∧ q)  ⇔ ~p ∨ ~q        -        ~(p ∨ q) ⇔ ~p ∧ ~q

Sumber:

1.    http://file.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._MATEMATIKA/KHUSNUL_NOVIANIGSIH/Tautologi.pdf

2.    http://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&ved=0CCgQFjAA&url=http%3A%2F%2Fdina_indarti.staff.gunadarma.ac.id%2FDownloads%2Ffiles%2F29175%2FProposisi.pdf&ei=o6thU_LQLM-PuATz0IKIDg&usg=AFQjCNHIupHhspGWXF8Ts53UJO0LprpGRA&sig2=oSiEKMPpN8F3y81oei3EAA&bvm=bv.65788261,d.c2E

3.      Catatan materi matematika SMA