Kumpulan dari objek (kelompok) yang
memiliki satu atau lebih kesamaan yang dapat dibedakan dengan kumpulan objek
(kelompok) lain. Kelompok, kumpulan, maupun gugus disebut himpunan. Konsep tentang himpunan
pertama kali dikemukakan oleh Georg Cantor (1845-1918),
seorang matematika berkebangsaan Jerman. Benda yang termasuk dalam himpunan
biasa disebut dengan anggota, elemen, atau unsur. Contoh kelompok atau kumpulan
yang merupakan suatu himpunan: Hewan
bertanduk. Yang merupakan anggota: Sapi, kerbau, kambing, rusa, dan lain-lain.
Anggota
Himpunan
Setiap objek atau benda yang
berada dalam suatu himpunan disebut anggota atau elemen. Suatu himpunan
biasanya diberi nama atau dilambangkan dengan huruf besar (kapital) seperti A, B, C, …. Adapun benda atau objek
yang termasuk dalam himpunan tersebut ditulis dengan menggunakan pasangan
kurung kurawal {...}.
Contohnya: B adalah himpunan bilangan cacah
kurang dari 6.
Anggota
himpunan bilangan cacah kurang dari 6 adalah 0, 1, 2, 3, 4, 5.
Jadi,
B = {0, 1, 2, 3, 4, 5}.
Penulisan
Himpunan
Dalam
penulisan himpunan dapat dilakukan dengan dua metode yaitu:
1.
Metode tabulasi (Pendaftaran).
Metode ini
dilakukan dengan cara mendaftar seluruh anggota himpunan yang memenuhi syarat
dan ketentuan yang diberikan dalam suatu himpunan. Juga dapat digunakan untuk
menyatakan himpunan tak berhingga yang jumlah anggotanya sangat banyak dan tak
berhingga. Contohnya:
- B = {1, 2, 3, 4, ...}
- A = {Senin, Selasa, Rabu, ...}
- D = {Merah, Kuning, Hijau}
2.
Metode perincian (Notasi)
Metode ini dilakukan
dengan cara menuliskan syarat keanggotaan yang dimiliki oleh seluruh anggota
suatu himpunan akan tetapi tidak dimiliki oleh unsur-unsur yang bukan anggota
himpunan tersebut. Contoh:
- A = {y|y bilangan prima kurang dari 10}
- B = {x|x faktor ganjil dari 21}
- C = {x|x2 < 1, x bilangan prima}
Macam-macam
Himpunan
Berdasarkan
pengamatan jumlah anggotanya, himpunan terbagi menjadi beberapa macam seperti:
1.
Himpunan Kosong (himpunan hampa)
Suatu himpunan yang tidak mempunyai anggota. Himpunan kosong
biasanya dinyatakan dengan notasi Æ atau {}. Contohnya: A ={x|x = bilangan riil, x2 + 3 = 0} maka ditulis A = Æ
2.
Himpunan Semesta
Himpunan yang mempunyai anggota semua obyek yang sedang
dibicarakan. Biasanya dinyatakan dengan notasi S atau U (S singkatan dari
semesta dan U singkatan dari universal). Contohnya:
A
= {5, 7, -4, 9}, C = {7, 9} maka dikatakan, A merupakan semesta dari himpunan C
3.
Finit dan Infinit
Secara
intuitif, himpunan dikatakan:
- Himpunan berhingga (Finit) jika himpunan itu beranggotakan
elemen-elemen yang berbeda dan banyaknya tertentu atau berhingga (jika kita
membilang banyak anggota yang berbeda dalam himpunan itu, proses membilang yang
kita lakukan akan berakhir). Contohnya:
a.
Himpunan H = himpunan bilangan pada permukaan jam duabelas.
Maka H ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}. Alasannya: karena proses
membilang kita akan berhenti.
b.
K = {Tata, Lala, Joko}
-
Himpunan tak berhingga (Infinit) jika himpunan tersebut
mempunyai anggota-anggota yang banyaknya tak berhingga. (proses membilang yang
kita lakukan untuk menghitung banyak anggota himpunan tersebut tidak akan
berakhir). Contohnya:
a.
Himpunan I = himpunan bilangan asli ganjil. Maka I = {1, 3, 5,
…,}. Alasannya: karena jika kita membilang banyak anggota proses membilang kita
tidak akan pernah berhenti.
b.
J = {x|x = himpunan bilangan-bilangan bulat positif} = {1, 2, 3, ….}
Diagram Venn
Jika A = { x | x
P, x < 8 } dan B = { 10, 20, 30, ... }, maka A
// B.
Operasi
antara Himpunan
a. Irisan
(intersection)
Irisan antara dua buah himpunan
dinotasikan oleh tanda “Ç “. Misalkan A dan B adalah himpunan yang tidak saling lepas, maka Notasi :
A Ç B = { x | x Î A dan x Î B }
Contohnya:
Jika A = {2, 4, 6, 8, 10} dan B = {4, 10, 14, 18}, maka A Ç B = {4, 10}
Jika A = { 3, 5, 9 } dan B = { -2, 6 }, maka A B = . Artinya:
A // B
b. Gabungan (union)
Gabungan antara dua buah himpunan dinotasikan
oleh tanda “
È”. Misalkan A dan B adalah himpunan, maka Notasi :
A È B = { x | x Î A atau x Î B }
Contohnya:
Jika A = { 2, 5, 8 } dan B = { 7, 5, 22 }, maka A B = { 2, 5, 7, 8, 22 }
c. Komplemen (complement)
Komplemen
dari himpunan merupakan unsur -unsur yang ada pada himpunan universal (semesta
pembicaraan ) kecuali anggota himpunan tersebut. Misalkan A merupakan himpunan
yang berada pada semesta pembicaraan U, maka komplemen dari himpunan A
dinotasikan:
A = { x | x Î U, x Ï A }.
Misalnya U = { 1, 2, 3, ..., 9 },
jika A = {1, 3, 7, 9}, maka = {2, 4, 6,
8}
jika A = { x | x/2 P, x
< 9 }, maka = { 1, 3, 5, 7, 9 }
d.
Selisih (difference)
Selisih antara dua buah
himpunan dinotasikan oleh tanda ‘– ‘. Misalnya A dan
B adalah himpunan, maka selisih A dan B dinotasikan oleh Notasi :
A – B = { x | x Î A dan x Ï B } = AÇB.
Contohnya:
-
Jika
A = { 1, 2, 3, ..., 10 } dan B = { 2, 4, 6, 8, 10 }, maka A – B
= {1, 3, 5, 7, 9}
- {1,
3, 5} – {1, 2, 3} = {5}, tetapi {1, 2, 3} – {1, 3, 5} = {2}
e. Beda Setangkup (Symmetric
Difference)
Beda
setangkup antara dua buah himpunan dinotasikan oleh tanda ‘Å’. Misalnya A dan B adalah himpunan, maka
beda setangkup antara A dan B. Notasi:
A Å B = (A È B) – (AÇB) = (A – B) È (B – A)
Contoh: Jika
A = { 2, 3, 5, 7} dan B = { 1, 2, 3, 4, 5 }, maka A Å B =
{1, 4, 7}
Beda setangkup memenuhi sifat-sifat
berikut:
- A Å B = B Å A
(hukum komutatif)
- (A Å B ) Å C = A Å (B Å C
)
(hukum asosiatif)
f. Perkalian Kartesian (cartesian product)
Perkalian kartesian antara dua buah himpunan dinotasikan
oleh tanda ‘x’. Misalnya A dan B adalah himpunan, maka perkalian kartesian
antara A dan B dinotasikan:
A ´ B = {(a, b) ½ a Î A dan b Î B }.
Contohnya:
himpunan C = { 1, 2, 3 }, dan D = { a, b }, maka C ´ D = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)}
Catatan:
1. Jika A dan B merupakan himpunan berhingga, maka: ½A ´ B½ = ½A½ . ½B½.
2. Pasangan berurutan (a, b) berbeda dengan (b, a),
dengan kata lain (a, b) ¹ (b, a).
3. Perkalian kartesian tidak komutatif, yaitu A ´ B ¹ B ´ A
dengan syarat A atau B tidak kosong. Pada Contoh di atas, D ´ C = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3) } ¹ C ´ D.
4. Jika A = Æ atau B = Æ, maka A ´ B = B ´ A = Æ
Sumber:
Tidak ada komentar:
Posting Komentar