Relasi

Hubungan antara anggota himpunan dapat merupakan suatu relasi, misalnya a€A dan b€B, bila a relasi dengan b kita dapat tulis (a,b). Secara formal relasi dari dua himpunan yaitu himpunan pasangan terurut dari anggota-anggota kedua himpunan. Bila relasi dari himpunan A ke himpunan B, maka himpunan A disebut daerah asal (domain) dan himpunan B disebut daerah kawan (kodomain).

Penyajian Relasi:

Penyajian Matriks Relasi dan Diagram Panah

Misalkan A = {2,3,4} dan B = {2,4,8,9,15}.

Jika kita definisikan relasi R dari A ke B dengan aturan :   (a, b) ∈ R jika a faktor prima dari b maka relasi tersebut dapat digambarkan dengan diagram panah berikut ini :

  

Penyajian relasi dengan diagram cartesius

Diagram cartesius menggunakan pasangan koordinat horisontal-vertikal. Setiap titik mewakili ada tidaknya hubungan A dan B, contoh :

Penyajian Relasi dengan Tabel

Kolom pertama menyatakan asal, sedangkan kolom kedua menyatakan hasil. Contohnya:

Penyajian Relasi dengan Matriks     
Relasi antara A = {a₁, a₂, …, a_m} dan B = {b₁, b₂, …, b_n}. Contohnya:

Relasi Invers

R relasi dari suatu himpunan A ke himpunan B. Invers dari R ditulis R^-1. Jika urutan anggotanya dibalik  maka R^-1 = {(b, a) | (a, b) ∊ R).

Contohnya:

-       A= {(1,a), (2,b)}, maka A^-1 = {(a,1), (b,2)}

-       R  = {(2, 2), (2, 4), (4, 4), (2, 8), (4, 8), (3, 9), (3, 15)}, maka R^–1  = {(2, 2), (4, 2), (4, 4), (8, 2), (8, 4), (9, 3), (15, 3) }

Komposisi Relasi

Misalnya R adalah relasi dari himpunan A ke B, dan S adalah relasi dari himpunan B ke C. Komposisi R dan S, dinotasikan S ο R. sedangkan relasi dari A ke C yang didefinisikan:

S ο R = {(a,c) | a ∊ A, c ∊ C, dan untuk beberapa b ∊ B, (a,b) ∊  R dan (b,c) ∊  S.

Contohnya: R = {(1,2),(1,6),(2,4),(3,4),(3,6),(3,8)} adalah relasi dari A = {1,2,3} ke B = {2,4,6,8} dan S = {(2,u),(4,s),(4,t),(6,t),(8,u)} adalah relasi dari B = {2,4,6,8} ke C = {s,t,u}. Maka komposisi relasi R dan S adalah S ο R = {(1,u),(1,t),(2,s),(2,t),(3,s),(3,t),(3,u)}.

Sifat Relasi

1.      Refleksif (reflexive)

Jika (a, a) Î R untuk setiap a Î A.

Contohnya:

A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka Relasi R = {(1, 1), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 2), (4, 3), (4, 4)} bersifat refleksif karena terdapat elemen relasi yang berbentuk (a, a), yaitu (1, 1), (2, 2), (3, 3), dan (4, 4).

2.      Transitif (menghantar)

Jika (a,b) Î R dan (b,c) Î R, maka (a,c) Î R untuk a,b,c Î A.

Contohnya :

-       relasi < pada Z bersifat transitif, sebab a,b,c Î Z berlaku jika a < b dan b < c maka a < c. 

-       Relasi "habis dibagi" pada himpunan bilangan bulat positif menghantar.

3.      Simetris

Jika a Î A dan b Î A berlaku a R b ≡ b R a, relasi R pada himpunan A disebut simetri jika semua a,b Î A jika (a,b) Î R, maka (b,a) ÎR.

Contohnya:

-       R = pada D bersifat simetri, karena a, b ϵ D, berlaku a=b ≡ b=a

-       Relasi ≤ pada Z tidak simetri, karena 1 ≤ 2 ≠ 2≤1

4.      Antisimetri

Jika semua a,b Î A, (a,b) Î R dan (b,a) Î R hanya a=b.

Contohnya:

R < pada Z bersifat antisimetri, karena b,c Î z berlaku b<c ^ c < b → b=c.

Partisi

Menurut bahasa Yunani 'partition' yang artinya 'bagian'. Partisi adalah bagian tertSentu, dengan tujuan untuk memisahkan antara yang penting dengan yang biasa saja sehingga lebih mempermudah dalam proses mencari.

Contohnya:

S = himpunan tidak hampa. Partisi dari S = membagi-bagi S menjadi himpunan bagian tidak hampa A1, A2, ... Masing-masing saling lepas dan gabungan keseluruhannya adalah S.

Sumber:

http://budysantoso40.blogspot.com/2012/09/relasi.html

http://purplenyun.blogspot.com/2012/09/matematika-diskrit-relasi.html

http://elearning.gunadarma.ac.id/docmodul/aljabar_logika&himpunan/bab2-relasi.pdf